A Sucessão de Fibonacci

Suponha que possui muitos selos de correio de 10 e 20 escudos. De quantas formas diferentes pode colar os selos num bilhete-postal (lado a lado e direitos) para totalizarem 10, 20, 30, 40, 50, etc., escudos?

Por exemplo, para totalizar 40 escudos são possíveis cinco combinações.

BOLT, Brian. Actividades matemáticas. Lisboa : Gradiva, 1991.

RESPOSTA

No exemplo anterior você deve ter-se confrontado com os números da sucessão seguinte: 1 1 2 3 5 8 13 ... em que cada termo, a partir do terceiro, é a soma dos dois termos imediatamente anteriores. Por exemplo, 13=5+8 e o termo seguinte será 8+13=21. Esta sucessão é habitualmente conhecida por sucessão de Fibonacci.

SUBTRAÇÕES SURPREENDENTES

Escolha quaisquer quatro dígitos, como, por exemplo, 3,6,2,8, e com eles forme o maior e menor número possíveis. Neste caso são o 8632 e 2368, respectivamente. Subtraia o menor número do maior e repita o processo, usando agora os quatro dígitos da diferença como ponto de partida:

8632

                                                  -2368

6264

6642

                                                  -2466

4176

 

7641

                                                  -1467

6174

Neste exemplo, os dígitos 1,4,6,7 ocorrem na segunda diferença, e, a partir desta, não são gerados novos dígitos.

Investigue o que acontece com novos conjuntos de quatro dígitos, como ponto de partida, e continue subtraindo até que não sejam criados novos dígitos. O que é que nota?

Qual foi o maior número de subtrações necessárias para que nada de novo acontecesse?

BOLT, Brian. Actividades matemáticas. Lisboa : Gradiva, 1991.